Lets make a deal with Monty Hall
Την δεκαετία του 60 προβλήθηκε για πρώτη φορά στην αμερικανική τηλεόραση το τηλεπαιχνίδι «lets make a deal» που μεταφράζεται ως «ας κάνουμε μια συμφωνία». Δημιουργός και οικοδεσπότης του παιχνιδιού ήταν ο Monty Hall, στον οποίον οφείλεται και το όνομα του παραδόξου. Το παιχνίδι διαδόθηκε ταχύτατα στις ΗΠΑ ενώ αναπαράχθηκε σε πολλές χώρες της υφηλίου, όπως και στην Ελλάδα με το όνομα «μεγάλο παζάρι».
Στο τηλεπαιχνίδι ο αγωνιζόμενος ερχόταν αντιμέτωπος με τρεις κουρτίνες. Πίσω από δύο εξ αυτών κρυβόταν άνευ αξίας αντικείμενα ή zonks όπως αναφερόταν στην εν λόγω εκπομπή ενώ πίσω από την τρίτη κουρτίνα κρυβόταν ένα αντικείμενο μεγάλης αξίας όπως αυτοκίνητα, πληρωμένα ταξίδια πολυτελείας κ.λ.π.
Το επόμενο στάδιο είναι φαινομενικά απλό. Το μόνο που είχε να κάνει ο αγωνιζόμενος ήταν να επιλέξει μία από τις τρεις κουρτίνες και να καρπωθεί το περιεχόμενό της. Εδώ όμως έρχεται το δεύτερο στάδιο το οποίο έκανε το παιχνίδι τόσο ενδιαφέρον. Ο Monty Hall γνωρίζοντας τι κρύβεται πίσω από κάθε κουρτίνα, θα έκανε αμέσως μια προσφορά στον παίκτη. Του αποκαλύπτει πως πίσω από μία εκ των δύο από τις κουρτίνες που δεν διάλεξε ο αγωνιζόμενος κρύβεται ένα εκ των δύο ζονκς, το οποίο και επιβεβαιώνει αποκαλύπτοντας την κουρτίνα. Και εδώ έρχεται το τελευταίο χτύπημα του Monty Hall στο οποίο ρωτάει τον παίχτη αν παραμένει στην επιλογή του ή αν θέλει να αλλάξει κουρτίνα!
Το παράδοξο
Με μια πρώτη ματιά φαίνεται πως το να αλλάξει ένας την αρχική του επιλογή δεν έχει νόημα καθώς εξακολουθεί να έχει 33% (1/3) πιθανότητα για κάθε πόρτα. Μάλιστα οι περισσότεροι εμμένουν στην πρώτη τους επιλογή για λόγους εγωιστικούς, συναισθηματικούς ή ακόμη και προλήψεως. Γιατί λοιπόν ο οικοδεσπότης τούς έδινε κάθε φορά την εναλλακτική; Θα επρόκειτο για κάποιο τρικ ώστε να αλλάξουν την επιλογή τους και να χάσουν, σωστά; Λάθος. Αυτό που πραγματικά τους πρόσφερε ο Monty Hall τις περισσότερες φορές ήταν μια ακόμη ευκαιρία να αναθεωρήσουν.
Ας πάρουμε για παράδειγμα την παραπάνω εικόνα. Στην πρώτη περίπτωση που ο παίκτης διάλεξε το αυτοκίνητο, το να διαλέξει διαφορετική πόρτα θα ήταν ένα τραγικό λάθος – αλλά μαθηματικά σωστό! Όπως παρατηρούμε στις άλλες δύο περιπτώσεις η αλλαγή της πρώτης επιλογής έχει θετικό αποτέλεσμα, οδηγώντας τον παίκτη στο αμάξι. Αυτό σημαίνει πως το να αλλάξουμε την πρώτη μας επιλογή μας δίνει 66% πιθανότητες έναντι του 33% που έχουμε να βρούμε το αμάξι εξαρχής. Δηλαδή έχουμε τις διπλάσιες πιθανότητες!
Η «λύση» του προβλήματος
Γιατί όμως δεν μας φαίνεται αυτό υπερβολικά απλό και κατανοητό εξαρχής; Το πρόβλημα έγκειται στο πώς ο ανθρώπινος εγκέφαλος κατανοεί τις πιθανότητες. Μερικές φορές η λύση είναι ακριβώς εκεί αλλά υπάρχει κάτι που μας εμποδίζει να την δούμε. Στην συγκεκριμένη περίπτωση αυτό το κάτι είναι ο μικρός αριθμός στοιχείων. Αυτό όμως μπορεί πολύ εύκολα να ξεδιαλύνει παρατηρώντας ένα παράδειγμα με αρκετά περισσότερα στοιχεία. Ας υποθέσουμε πως κάποιος μας ζητάει να διαλέξουμε τον άσσο μπαστούνι από μια κανονική τράπουλα 52 φύλλων. Οι πιθανότητές μας αρχικά είναι 1/52 να βρούμε το φύλλο. Στην συνέχεια μας δείχνει 50 φύλλα αποκαλύπτοντας πως ο άσσος μπαστούνι δεν βρίσκεται σε κανένα από αυτά. Μας δίνει τέλος την επιλογή μεταξύ των δύο καρτών που έχουν μείνει κλειστά. Του φύλλου που κρατάμε και του φύλλου που έμεινε. Τώρα φυσικά φαίνεται πως αυτό που μένει να κάνουμε είναι να αλλάξουμε την αρχική επιλογή.
Αυτό που ουσιαστικά συμβαίνει είναι ότι η πρώτη μας επιλογή έχει 1/52 πιθανότητες ενώ η αλλαγή της έχει 51/52. Φυσικά το φύλλο που μένει δεν έχει 1/52 όπως το δικό μας αλλά «απορροφά» το 50/52 πιθανότητας των υπολοίπων. Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει και όταν έχουμε 3 επιλογές απλά η ανθρώπινη φύση μάς εμποδίζει να το δούμε. Έτσι, εάν ποτέ βρεθείτε σε μια ανάλογη θέση πάντα να αλλάζεται την πρώτη σας επιλογή, ευχαριστώντας το άτομο που διπλασίασε την πιθανότητα νίκης για σας!
