
Με αφορμή την παγκόσμια ημέρα της σταθεράς π, την οποία γιορτάζουμε κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου, και αυτό δεν είναι τυχαίο αφού η ημερομηνία εορτασμού προέκυψε από την αμερικανική γραφή της ημέρας (3/14), τα οποία είναι τα τρία πρώτα νούμερα του π, κάνουμε αυτό το μικρό αφιέρωμα στα μαθηματικά και την σημαντικότητά τους στον κόσμο. Αλλά ας πιάσουμε τα πράγματα από την αρχή…
Τι είναι μαθηματικά;
Τι είναι μαθηματικά; Ένα αιώνιο ερώτημα. Ωστόσο, δεν είμαι εδώ για να το απαντήσω, αλλά μέσα από την αγάπη μου για τα μαθηματικά θα προσπαθήσω να εξηγήσω τι είναι αυτό που πολλοί μαθητές στο σχολείο αποκαλούν βάσανο (ίσως το μεγαλύτερο από τα άλλα μαθήματα).
«Το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών» είπε κάποτε ο Γαλιλαίος. Τι εννοούσε ο μεγάλος αυτός αστρονόμος, φυσικός, μαθηματικός και φιλόσοφος; Πολύ απλά, αυτό που μας λέει είναι ότι οτιδήποτε και να κοιτάξετε γύρω σας αυτό μπορεί να εκφραστεί στη γλώσσα των μαθηματικών. Η γλώσσα των μαθηματικών είναι η πολύ σημαντική στην κατανόηση του κόσμου που μας περιβάλει. Δεν είναι τυχαίο που διεθνούς φήμης επιστήμονες πάνω σε ένα συγκεκριμένο αντικείμενο γνωρίζουν μαθηματικά. Όλες οι επιστήμες από την Φυσική μέχρι την Κοσμολογία ακόμα και τις Θεωρητικές επιστήμες χρησιμοποιούν μαθηματικά.
Ένα παράδειγμα από τον κόσμο της Γεωμετρίας
Ας πάρουμε ένα παράδειγμα για να το καταλάβουμε καλύτερα. Έστω ότι είστε ένας κτηνοτρόφος και έχετε κατσίκες. Παίρνετε μια κατσίκα και την δένετε με ένα σχοινί μήκους 1 μέτρου σε έναν πάσσαλο και την αφήνετε να βοσκήσει. Η κατσίκα θα κινηθεί σ’ έναν κύκλο ακτίνας ενός μέτρου. Την επόμενη μέρα, πηγαίνετε να την λύσετε και βλέπετε ότι έφαγε όλο το χορτάρι μέσα στην ακτίνα κίνησής της και τώρα πλέον υπάρχει ένας κύκλος με ακτίνα όσο το σχοινί (γιατί μέχρι το τέλος του έφτανε η κατσίκα). Άρα σας γεννάται η ερώτηση: «Πόσο χορτάρι έφαγε η κατσίκα, τελικά»;
Με πολύ απλή γεωμετρία και χρησιμοποιώντας βασικά μαθηματικά μπορούμε να δούμε ότι το κομμάτι που έφαγε η κατσίκα έχει εμβαδόν ίσο με π, δηλαδή περίπου 3,14 τετραγωνικά μέτρα. Άρα, τι κάναμε στο πιο πάνω πείραμα; Πήραμε τα στοιχεία, τα μεταφράσαμε στη γλώσσα των μαθηματικών και με τα κατάλληλα εργαλεία που αυτά μας δίνουν δώσαμε ένα αποτέλεσμα σ’ ένα πρόβλημά μας.
Ένα άλλο παράδειγμα από τον κόσμο της Γεωμετρίας
Ένα άλλο παράδειγμα, πιο απλό. Θέλετε να στρώσετε χαλί σ’ ένα καθιστικό που έχει σχήμα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Τι κάνετε; Με άλλα λόγια, θέλετε να μετρήσετε πόση επιφάνεια έχετε για να την καλύψετε με μια άλλη ίση επιφάνεια. Άρα, πρέπει να βρείτε το εμβαδόν της μιας για να βρείτε πόσο εμβαδόν από το χαλί χρειάζεστε. Επομένως, μετρώντας την μία πλευρά , την κάθετη σ’ αυτή και κάνοντας τον σχετικό πολλαπλασιασμό θα βρείτε ότι το εμβαδόν είναι ίσο με έναν συγκεκριμένο αριθμό και θα παραγγείλετε ένα χαλί που καλύπτει ίση επιφάνεια.
Τα μαθηματικά στην κατανόηση του κόσμου μας
Μέσα απ’ αυτά τα παραδείγματα θέλω να δείξω ότι τα μαθηματικά υπάρχουν γι’ αυτό ακριβώς το σκοπό. Για να εξυπηρετούν τους ανθρώπους στην καθημερινότητα. Διαβάζουμε: «Ο αριθμός έχει περάσει τώρα πια στην πλευρά της αφαίρεσης, και αυτό αποτελεί την ταυτότητα των μαθηματικών: είναι η κατεξοχήν επιστήμη της αφαίρεσης. Τα αντικείμενα που εξετάζουν τα μαθηματικά δεν έχουν φυσική υπόσταση. Δεν είναι υλικά. Είναι μόνο ιδέες. Όμως αυτές οι ιδέες έχουν μια τρομακτική αποτελεσματικότητα στην κατανόηση του κόσμου!»1
Όλα είναι μάταια όμως υπάρχει ελπίδα
Τα μαθηματικά γεννήθηκαν για να μπορούν να εφαρμοστούν στην καθημερινότητα. Βέβαια, θα πει κάποιος: «και όλα αυτά τα αφηρημένα θεωρήματα που ακόμη από το σχολείο μαθαίναμε, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις και άλλα τόσα, που θα μου χρησιμεύσουν όταν πάω να αγοράσω ψωμί»;
Θα συμφωνήσω ότι εκ πρώτης όψεως όλα αυτά μοιάζουν μάταια. Όμως, τα μαθηματικά δεν είναι μόνο για τους μαθηματικούς. Η μαθηματική σκέψη αλλάζει τελείως την πραγματικότητα του ατόμου. Όταν ο άνθρωπος γίνει κοινωνός της ιδιαίτερης αυτής σκέψης αποκτά μια στάση ζωής διαφορετική από την συνηθισμένη. Καταρχάς, αποκτά κανόνες και μια μεθοδολογία για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος της ζωής του. Δεύτερον, μαθαίνει να μην εγκαταλείπει τα προβλήματα του.
Τι άλλο μαθαίνει κανείς από τα μαθηματικά
Ακόμη, με βάση τα δεδομένα του εκφράζει το πρόβλημά του στην γλώσσα που του είναι πιο εύχρηστη και δίνει μια λύση κοντά στην πραγματικότητά του. Όλα τα αποτελέσματα που έχουμε ως τώρα στα μαθηματικά είναι αποτέλεσμα μιας μακρόχρονης ερευνητικής διαδικασίας που ως κύριους άξονες είχε την διαίσθηση, την εικασία , την φαντασία και την εξερεύνηση ,τα λάθη και τις εσφαλμένες και αληθινές υποθέσεις. Μπορεί τώρα να μας τα παρουσιάζουν με τέτοιο αποκρουστικό τρόπο αλλά δεν έχουν προκύψει καθόλου έτσι. Τα μαθηματικά τα βασίζουν στην φαντασία και στην εκτεταμένη σκέψη. Στην σκέψη έξω από το κουτί.
Γιατί όλα γύρω μας μπορούμε να τα μεταφράσουμε στην γλώσσα των μαθηματικών;
Μήπως ο θεός είναι τελικά μαθηματικός; Μαθηματικοί και φιλόσοφοι εδώ και αιώνες προσπαθούν να απαντήσουν στο αιώνιο ερώτημα αν τελικά τα μαθηματικά τα εφευρίσκουμε ή τα ανακαλύπτουμε. Δηλαδή, είναι τα μαθηματικά ένα ανθρώπινο κατασκεύασμα ή είναι εκεί έξω και περιμένουν να τα ανακαλύψουμε; Ίσως και τα δύο να’ ναι αλήθεια, ίσως και τίποτα από τα δύο, ίσως αργότερα να έρθει κάποιος μαθηματικός ή φιλόσοφος με μια πιο ριζοσπαστική θεώρηση για την ύπαρξη των μαθηματικών. Πάντως ένα είναι σίγουρο. Όπως είπε ο G. H. Hardy στο βιβλίο του «Η Απολογία ενός μαθηματικού»: «Η ‘Αθανασία’ ίσως είναι μια χαζή λέξη, αλλά πιθανότατα ένας μαθηματικός έχει την καλύτερη ευκαιρία σε ό, τι και αυτή σημαίνει».2
Οι τρεις βασικοί λόγοι για να δουλέψεις με το αντικείμενο των μαθηματικών
Τέλος, ας πάρουμε τους 3 λόγους που ο Ehrhard Behrends αναφέρει στο βιβλίο του Μαθηματικά πεντάλεπτα (εκδόσεις ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ) ότι είναι οι αιτίες για κάποιον να ασχοληθεί σε βάθος με αυτό το αντικείμενο:
1) Τα μαθηματικά είναι χρήσιμα για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων της καθημερινότητας μας.
2)Ως διανοητική δραστηριότητα τα μαθηματικά μπορούν να είναι άκρως συναρπαστικά.
3)Ο κόσμος μας είναι φτιαγμένος με βάση τις μαθηματικές αρχές.
Αναλυτικά
Τώρα ας τα δούμε λίγο πιο αναλυτικά:
1)Στην καθημερινή ζωή.
Από την αγορά ψωμιού μέχρι τους δεκαδικούς αριθμούς στο σούπερ μάρκετ και από την ώρα μέχρι την αγορά σπιτιού, τα μαθηματικά είναι εκεί παρόντα. Από την ελάχιστη μορφή τους που είναι οι αριθμοί έως τις πράξεις. Έστω ένας γεωργός που θέλει να περιφράξει το χωράφι του και θα αναρωτηθεί πόσα μέτρα σύρμα να αγοράσει. Βρίσκοντας την περίμετρο του χωραφιού του με μια απλή πρόσθεση θα καταφέρει να λύσει το πρόβλημά του. Τα μαθηματικά βέβαια είναι παρόντα και σε άλλες επιστήμες. Από την Φυσική μέχρι την Βιολογία και από την Μηχανολογία έως την Πληροφορική όλες αυτές χρησιμοποιούν και λύνουν τα προβλήματά τους στην γλώσσα των μαθηματικών. Ακόμη και οι θεωρητικές επιστήμες χρησιμοποιούν τις μεθόδους της στατιστικής (κλάδου των μαθηματικών). Γι’ αυτό και μαθήματα με βασικά μαθηματικά τα βρίσκει κανείς στις περισσότερες σχολές.
2) Συναρπαστικό αντικείμενο.
Τα μαθηματικά είναι άκρως συναρπαστικά σαν διανοητική εργασία γιατί όπως λέμε στην καθομιλουμένη “βάζουν το μυαλό να δουλεύει”. Ένα μαθηματικό τον χαρακτηρίζει η επιμονή και οι αναλυτικές μεθόδους για την επίλυση κάθε προβλήματος. (Βέβαια δεν χαρακτηρίζουν μόνο τους μαθηματικούς αυτά τα χαρακτηριστικά). Τα μαθηματικά μας μαθαίνουν νέους τρόπους επίλυσης των καθημερινών προβλημάτων. Ίσως στο μέλλον όλα να επιλύονται με βάσει τις αρχές της λογικής (κλάδου του μαθηματικών).
Ο μεγάλος μαθηματικός Γκότφρηντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς πίστευε ότι στο μέλλον όλα θα λύνονται με τα μαθηματικά. Πιο σωστά, έλεγε πως ακόμα και οι φιλοσοφικές ενασχολήσεις και αντιμαχίες θα επιλύονται με προτάσεις βασισμένες στον μαθηματικό λογισμό. Ολόκληρο το σύμπαν θα είχε μετατραπεί σε λέξεις, σημεία και σύμβολα άρα θα ήταν εύκολο ένα τέτοιο εγχείρημα. Ο Λάιμπνιτς έλεγε πως αν κάποιος του εξέθετε τα επιχειρήματά του πάνω σε ένα θέμα, αυτός θα έπαιρνε χαρτί και μολύβι και θα του έλεγε : ας το υπολογίσουμε, κύριε». Δεν ξέρουμε αν φταίνε οι φιλοσοφικές του απόψεις που μόνο τρία άτομα παρακολούθησαν την κηδεία του.
3) Παγκόσμια γλώσσα τα μαθηματικά.
Το ότι το βιβλίο της Φύσης είναι γραμμένο στην γλώσσα των μαθηματικών το αναλύσαμε στην αρχή και γι’ αυτό δεν θα επεκταθούμε πολύ. Το μόνο,ίσως, που θα πούμε είναι ότι τα μαθηματικά είναι μια παγκόσμια γλώσσα που όλοι ανά την υφήλιο καταλαβαίνουν. Με την κατάλληλη προετοιμασία και σκληρή δουλειά μπορεί ο καθένας να γίνει κοινωνός αν όχι δύσκολων και αφηρημένων εννοιών, βασικών προτάσεων των μαθηματικών που θα του είναι χρήσιμα. Ακόμα παρά πέρα ίσως τα μαθηματικά να είναι η γλώσσα επικοινωνίας μας με εξωγήινους πολιτισμούς.
Συμπέρασμα
Συμπερασματικά, τα μαθηματικά είναι για τον άνθρωπο και δεν πρέπει να τα αγνοούμε, ούτε να τα αποφεύγουμε. Τα μαθηματικά κάνουν τον κόσμο μας περισσότερο κατανοητό. Δεν θα διαφωνήσω ότι είναι ένα δύσκολο αντικείμενο με στοχασμούς που πρέπει να γίνουν αντιληπτοί σε βάθος. Ωστόσο, είναι πολύ σημαντικό να μην αδιαφορούμε προς εκείνα, γιατί έσω και κάτι να καταλαβαίνουμε απ’ αυτά κατανοούμε ένα κομμάτι του κόσμου. Θα κλείσω αυτό το αφιέρωμα με τα λόγια του διάσημου καθηγητή Ιαν Στιούαρτ: « Τα μαθηματικά διαποτίζουν την κοινωνία μας. Οι περισσότεροι από μας δεν το προσέχουμε, διότι κατά το πλείστον αυτά λειτουργούν πίσω από το προσκήνιο.»3
Παρακάτω ακολουθεί βίντεο σχετικό με την παγκόσμια ημέρα εορτασμού της σταθεράς π:
Παραπομπές:
- Mickaël Launay, η μεγάλη περιπέτεια των μαθηματικών, ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΡΟΪΣΤΟΡΙΑ ΜΕΧΡΙ ΤΙΣ ΜΕΡΕΣ ΜΑΣ, ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ, Σελ. 38
- The Universal Book of Mathematics From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes, David Darling, WILEY, John Wiley & Sons, Inc., Σελ. 199
- Λαμπέρτο Γκαρθία δελ Σιδ, Το Χαμόγελο του Πυθαγόρα, Μαθηματικά για αρχάριους, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΕΝΑΛΙΟΣ, Σελ. 223
Πηγές που χρησιμοποιήθηκαν σε αυτό το άρθρο:
- The Universal Book of Mathematics From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes, David Darling, WILEY, John Wiley & Sons, Inc.
- EHRHARD BEHRENDS, Μαθηματικά Πεντάλεπτα, 100 ΜΙΚΡΕΣ ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΟΣΜΟ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, Μετάφραση: Μιχάλης Παπανικολάου, Επιμέλεια: Γιάννης Παπαδόγγονας, ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΗΤΗΣ
- Πώς και γιατί μελετάμε μαθηματικά – Μια επιστολή προς μαθητές – ΖΗΣΕ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΟΥ (liveyourmaths.com)
- Λαμπέρτο Γκαρθία δελ Σιδ, Το Χαμόγελο του Πυθαγόρα, Μαθηματικά για αρχάριους, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΕΝΑΛΙΟΣ, Σελ. 223 και 292
- Mickaël Launay, η μεγάλη περιπέτεια των μαθηματικών, ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΡΟΪΣΤΟΡΙΑ ΜΕΧΡΙ ΤΙΣ ΜΕΡΕΣ ΜΑΣ, ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ, ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ, Σελ. 38